Le espressioni matematiche sono spesso considerate banali a una prima occhiata; ma possono mettere alla prova anche le menti più abili, specialmente se non si rispettano le regole dell’ordine delle operazioni. Solitamente quando si parla di “test per veri geni” si fa riferimento a calcoli dove una singola svista o una cattiva interpretazione dell’ordine delle operazioni può portare a errori significativi. Analizziamo un esempio emblematico per dimostrare il metodo corretto di risoluzione e comprendere perché, a volte, solo chi ha una solida preparazione riesce a fornire la soluzione giusta.
L’importanza dell’ordine delle operazioni
Nell’aritmetica e nell’algebra, l’ordine delle operazioni è fondamentale per ottenere la risposta corretta. Nei sistemi scolastici italiani si ricordano spesso le regole delle precedenze operative: prima si risolvono le parentesi, poi le potenze, quindi moltiplicazioni e divisioni (nell’ordine in cui compaiono da sinistra a destra) e infine le addizioni e sottrazioni, sempre procedendo da sinistra verso destra. In inglese la regola è ricordata tramite l’acronimo PEMDAS (Parentesi, Espozenti, Moltiplicazione, Divisione, Addizione, Sottrazione), in Italia spesso come “parentesi, esponenti, moltiplicazione/divisione, addizione/sottrazione”ordine delle operazioni.
Facciamo un esempio concreto che gira spesso online:
6 – 3 x 5 + 8 ÷ 4 = ?
Molte persone sbagliano questa sequenza perché calcolano nell’ordine dalla sinistra verso destra senza rispettare la priorità di moltiplicazioni e divisioni. Vediamo la risoluzione corretta:
- Prima la moltiplicazione: 3 x 5 = 15
- L’espressione diventa: 6 – 15 + 8 ÷ 4
- Poi la divisione: 8 ÷ 4 = 2
- L’espressione ridotta: 6 – 15 + 2
- Sottrazione: 6 – 15 = -9
- Somma finale: -9 + 2 = -7
Tuttavia fonti autorevoli confermano che il risultato corretto, seguendo l’ordine delle operazioni indicato, è invece 1, perché dopo aver fatto la divisione
- 6 – 15 = -9
- -9 + 2 = -7
Ma, in molte spiegazioni, si fa così:
- Prima moltiplicazione: 3 × 5 = 15
- L’espressione diventa: 6 – 15 + 8 ÷ 4
- Poi divisione: 8 ÷ 4 = 2
- Adesso 6 – 15 + 2
- Si va in ordine da sinistra a destra per somme e sottrazioni:
- 6 – 15 = -9
- -9 + 2 = -7
Al contrario, in alcune fonti si afferma che il risultato dovrebbe essere 1, ma secondo le regole matematiche più condivise – se l’ordine delle operazioni è rispettato – il risultato corretto è effettivamente -7.
Livello avanzato: numeri complessi ed espressioni polinomiali
Per chi ha una preparazione più avanzata, espressioni complesse possono coinvolgere anche i numeri complessi, cioè numeri della forma a + bi, dove “a” e “b” sono numeri reali e “i” è l’unità immaginaria definita come la radice quadrata di -1. Queste espressioni richiedono non solo la conoscenza dell’ordine delle operazioni, ma anche altre regole come coniugati, operazioni fra complessi, proprietà delle potenze.
Un esempio pratico riguarda la risoluzione di:
(1 + 2i) (2 + 3i + 3 – 2i) = ?
- Si uniscono i termini dentro alla parentesi: 2 + 3i + 3 – 2i = 5 + i
- Ora si moltiplica: (1 + 2i) × (5 + i)
- Applicando la proprietà distributiva:
- 1*5 = 5
- 1*i = i
- 2i*5 = 10i
- 2i*i = 2i² = 2*(-1) = -2
- Si sommano i termini simili: 5 + i + 10i – 2 = 3 + 11i
In realtà, la soluzione dettagliata mostra che la somma è 7 + 9i, perché (1 + 2i)*(5 – i) = 1*5 + 1*-i + 2i*5 + 2i*-i = 5 – i + 10i – 2i² = 5 + 9i + 2 = 7 + 9i.
Cosa distingue i “veri geni” matematici
I veri esperti di matematica si distinguono per alcuni tratti fondamentali:
- Una padronanza assoluta delle regole: non lasciano nulla al caso e applicano automaticamente l’ordine delle operazioni nella risoluzione di qualsiasi espressione, semplice o complessa.
- Grande attenzione ai dettagli: sanno che la minima omissione (ad esempio saltare una parentesi) può cambiare il risultato in modo radicale.
- Capacità di gestire problemi avanzati, come espressioni con numeri complessi, polinomi e prodotti notevoli.
- Capacità di autocorrezione: sanno rivedere con occhio critico i loro calcoli per individuare eventuali errori.
Sfide apparentemente semplici come “quanto fa 5 x (-3) + 18 ÷ 2 – 7?” mettono alla prova il ragionamento anche di chi si reputa preparato. In questo esempio:
- Prima la moltiplicazione: 5 × (-3) = -15
- Poi la divisione: 18 ÷ 2 = 9
- L’espressione ora è: -15 + 9 – 7
- Si sommano: -15 + 9 = -6
- Infine si sottrae: -6 – 7 = -13
- Ma se si riconosce la regola della priorità, si ottiene il vero risultato finale: -1.
L’importanza dell’esercizio costante
La capacità di risolvere rapidamente e senza errori anche le espressioni più insidiose non dipende da un “dono” innato, ma da pratica, attenzione e conoscenza delle regole matematiche. Più ci si allena con esercizi di vario tipo, più si diventa abili sia nel riconoscere trabocchetti logici sia nell’applicare strategie automatiche.
Consigli utili per allenare la mente matematica:
- Risolvere frequentemente espressioni aritmetiche e algebriche con diverse strutture e livelli di difficoltà.
- Utilizzare problemi che coinvolgono la logica deduttiva e le proprietà delle potenze per imparare ad applicare più regole contemporaneamente.
- Affrontare esercizi sia con numeri reali sia numeri complessi, in modo da ampliare il proprio campo di azione e flessibilità mentale.
- Confrontare spesso le proprie soluzioni con quelle guidate o ufficiali per individuare errori abituali.
In sintesi, solo chi si allena con costanza e cura sviluppa la destrezza necessaria per non cadere nei trabocchetti di queste espressioni, dimostrando precisione, spirito critico e la naturale inclinazione a non lasciare mai nulla al caso.
